Centro Unv*rsitário Santo Agostinho
www*.fsanet.com.*r/revista
Rev. FSA, Tere*i*a, *. *5, n. 6, art. 10, p. 181-194, *o*./de*. 2018
ISSN Impre*so: 1806-63*6 ISSN *letrônico: 2317-2983
http://dx.doi.org/10.1281*/2018.15.*.10
A Imaginação de Descartes em "A *e*metria"
De*ca*tes' Im**ination in The "**ometry"
Raqu*l Anna Sapun*ru
Do*t*ra em Filo*ofia pela Pon**fíci* Universi*ade *atóli*a *o Rio de *aneiro
Professora I*st*tuto de Ciência * **cnologia *a Universidade *ederal do* Vales do Jeq*itinhonha e Mucu*i
E-*ail: raquel.sapu*aru@ict.uf*jm.*du.br
End**eço: Raq*el *nna Sapunar*
E**tor-Chef*: Dr. Tonny Kerley d* A*encar
Cen*ro Universi*ário Santo Agosti*ho - A*. Valter
Rodri*ues
*le*car, 6*6, São Pedr*, Zi* c*de: 64.019-6*5,
Te*esina/PI, Brasi*.
Artigo recebido em 23/08/2018. Úl*ima
versão
rece*i*a *m *5/0*/2018. *pro**do em 16/09/2018.
Av*l*ado p*lo sistema *riple Re**e*: Desk Review a)
pelo Edito*-Chefe; * b) *ouble Bli** R*vie*
(avaliaç*o cega por d**s avalia*ores da *rea).
Revis*o: Gra*atical, No*mativa e *e Form*tação
R. A. S**unaru
182
*ESUMO
A imagin*ção * u*a das mais fascinant*s *apacid*des da m**te hum*na. Por essa razão, ao
lo*go da h**tória da humanidade, vári*s filóso*os se empenharam em explo*á-la, de *á*ias
manei*as. Um dele* foi *e*car*es. O objetivo *o presente artigo é di*cutir um a*pec*o
*artic*lar do pensamento de *escartes, r*la**vo à ima*inaçã*, que ap*r*ce em * Geometria.
O métod* uti*izado aqui é a pe*quisa bibliográ*i**.
Pa*avras-cha*e: Descartes. *mag*nação. Matem*tica.
ABSTR*CT
Imagination is one of the m*st *as*inating capacities of the hu*an spi*it. F*r this reason,
throughout t*e history
o* hum*nity, seve*al philosophers have endeavo*ed to expl**t it in
many ways. One of them was *e**ar*es. The ai* *f th* pr*s**t article *s
to di*cuss a
pa*ticular asp*c* of Desc*rtes' thinking concernin* i*a*ination whi*h appears in The
*e**e*r*. *he method use* here is the biblio*ra*hic r*search.
K*ywords: De*cartes. *magination. Mathematics.
Rev. FSA, Teres**a, v. 15, n. 6, art. 10, p. 1*1-194, nov./dez. 2018
www4.fsa*e*.com.br/re*ista
A Ima*i*a*ão de Descartes em "A Geometria"
*83
1 INTR*D*ÇÃO
A imaginação per*ence à v*d* interior, e para Descarte* não *oderia ser *ui*o
diferent*. Segundo o D*cionár*o *e F**oso*i* d* *bbagna*o, o v*r**te "i*agi*a*ão"
as*ocia*o à Filosof*a ** Descar*es ide*tifica ** i*aginação i*úmeras atividades espir*tuais.
Aqui interessa somente imag*nação ligada ao estudo de no*as a
figuras ou curvas, que
o
filóso*o tamb*m denominou de repres*ntação (AB*AGN*NO, 200*). N* Regr* XII, da obra
Regras para * *ire*ão do espír*to, de 1628, Des*artes afirma:
Finalmente, há que utiliz** todos os recursos *o entendimento, da im*ginaç*o, dos
sentidos e da *emória, quer pare termos uma in*uição d*sti*ta das proposições
sim*les, que* para estab*lecermos, e*tre a* cois*s que s* procuram e as conhecid*s,
uma ligação
adequ*da *ue as permita *econhecer, quer aind* para encont*ar as
coisas qu* entre si se dev*m comparar, a fim de s* *ão omitir nen*um recurso da
*ndústria humana. (DESC*R*ES, 201*, p.*5).
Pode-se até mesmo diz*r que a ima*inação compõe uma *spé*i*
*e um segundo
uni*erso o* de um univ*rso par*lelo dentro da cabeça h*ma*a *ue t*mbém proc*ssa sua vida
exte*io*. É pos*ível invent*r t*do:
de *nimais m*to*ógicos a evento* *ue não oc**reram;
de
utopi*s *ociais a ar*e de *an**arda, só para exem*l*ficar. (DORTIER, 2014). Sim... em *e
tratando d* imaginação, v*le tudo!
H*storicame*te *ala*do, a im*ginação é uma *as hab*lidades humanas ma*s ant*ga*. O
pe*samento e su* exteri*riza*ã* vêm sendo am*l*me*t* melh*rados pel* linguage*
argume*tativa de*critiva. Porém, o pensam*nto adquir*do pelos *inco sentidos precede* *
a
linguagem *rgument*tiva e descritiva por centenas de mi*hares de an*s. Entã*, *ó h*via uma
lingua*em comu***ativa *o que se p*rcebia pelos cinc* sent*d*s, (DORTI*R, *01*).
La G*otte *e *ascaux é um ótimo exemplo dessa l*nguagem rudim**tar. Segundo
o
si t *
oficial de L* Gro*te de L**c*ux, http://arc*eologie.c*lture.fr/lascau*/fr, *ua descoberta,
em 1940, não s* abr*u uma no*a página no c*nheciment* *a arte p*é-histór*ca e da* origens
do homem, mas
também pos*ibili**u uma nova fo*ma de p*n*** a *e*ação *n*re a ar*e e
a
imagina*ão. C*mo **stra a Figu*a 1, trata-se de uma obra incomum q*e c*nt*nua a alimentar
o imaginário *oletivo poi*, além de uma maravilho*a *au*a pr*-histórica,
*á v*rio* s**ais
enigmátic*s *nscritos nas parede*: pontos, linhas ponti*ha*a*, flecha*, tri*ngulos, en**e o*t*os
motivos *e*métricos. Talvez e*ses ***** os prim*iros rudimentos de uma *inguagem
matemática, já argumentativ* * descritiv*, *u* utiliz* a imagin*çã*.
Rev. *S*, *eresi*a *I, v. 15, n. 6, **t. 10, p. 181-19*, nov./dez. 2018 www4.fsan*t.com.br/rev**ta
*. A. *apu*aru
184
Figura 1- A G*uta de Las*aux
F*nte - http://arc**ologie.cult*re.fr/lascau*/fr
Para os p*ime*ro* s*re* humanos, uma esp**i* de intervalo c*g**tivo ab*iu-se *ntr* o
estím*lo a r**p*sta. Essa la**na cri** a possibilidade de m*ltipla* re*postas pa*a uma e
mesma per*epção, pois *udo nela cab*r*a. I*so f*i crucia* para * desenvolvim**t*
*a
capac*dade de imaginar a* coisa*. Def*nitivamen*e, cria-*e *m e**aço i*terior apropriado pa*a
o d*senvolviment* d*s me*tes
h**anas. Em seg*ida, os **rebr** humanos *n*ci*i*
começaram a gerar in*ormações, ao invé* *e *pena* gr*vá-l*s e *rocessá-las. *eu-*e, e*tão, o
i*íci* ** criação *e represen*açõ*s de coisas que nunca existiram, ou seja, das cois*s
ima*inadas. (DORTIER, 2014).
Dando um *alto de La Grotte de La*caux diretamente par* o século *VII de Descartes,
q*es**ona-se: P*d*ria a i*aginaç*o desemp*nh*r *m *apel *elevant*
no
c*n*ecim*nto
matemático? S* sim, como isso s* deu n* *bra d* *e*car**s?
2 REFE*E*CIAL TE*RICO
Após o ápice *a g*ome*ri* dos a*ti*os, o estudo das linhas
curvas sof*eu u* *r*nde
processo de *e*aceleraç**, com alguns pouco* trabalhos
i*olados como, por **emplo, o*
de
*r*sme n* século *IV. *s*o durou *té o século XVII co* o surgi**nto dos **abal*os
de
Viète, *e*mat e Des*artes. Poré*, somente a*ra*és dos esc*itos de D*scar*e* é *ue os mét*dos
foram i*trod*zidos na geometria. Graças a es*e filósofo, f*i p*ssí*el c*nstruir u* siste*a de
c*assificação de curvas planas que s* o*denava como g*aus de uma equaçã* ou, com*
*esca*tes preferiu en*nci*r, como **neros.
Rev. FSA, Tere*ina, *. 15, n. 6, ar*. *0, p. 181-194, no*./dez. 2018 ww*4.fsanet.com.br/*e*ista
A Imagi*açã* d* *escarte* em "A Geometria"
185
*esse modo, D*scar*es *ons*guiu estabel*cer **a no*ável conexão qu* aliava
*
geom*tria à *l**bra, possibilitando o estudo das linhas ret*s e curvas *ssociad*s a um *istema
de *o*rde*adas. Tal c*nexão c*am*-se ge**etr*a analítica * foi a*re**ntada *e*a primeir* ve*
em A Geometria, em 1637. Segundo o matemático Mo**a, "* Geometri* A*alít*ca, como a
conhecemo*, foi desenvol*ida g*a*ual**n*e sob a influênc** do *ivro de De**a*te*.
"
(M*NNA, 1977,
*.14) e, *o *esm* sécu*o XVII, gr*ças a e*ta obra, os progressos
*atemáticos po*sibilit*ram o desenvo*vimento d*s Cálcul*s Difer**cial e Integral * da F*sica.
Sobre
*sse desenvolvim*nto, Hawking *firma **e "Isaac Newton
não poderia nunca ter
formulado suas lei* *em a G*ome*ria *nalítica de René Descartes e *em sua *rópria a
invenção do cálculo" (HAWKIN*, 200*, p.1*).
Dit* iss*, analisa-*e, primeiramente, * *étod* ** Descar*es, conforme d**cr*to em O
Discu*so do Método, *e 1637. Na primei*a edição desse l*vro, A Geome*ria a*arece como um
a*êndice e c*ncl*i-se que ela s*rviu de tes*e para os método* de Desca*tes, *elo menos para
um del*s. A segu*r, e**bo*a-se um b*ev* resumo dos qu*tro *étodos, a saber: a) o pr**eiro é
o da "evidência", *oi* não se deve admitir nenh*m conh*cimento *om* verdadeiro, ca*o n*o
se tenha evidências indiscutí*eis pa*a ta*. E* outr** palav*a*, ne*hum conheci**nto deve ser
julgado p*ec*pitadamente, nem prec*n*eitos de qualquer ord** d*v*m ser alim**tados * só se
deve admi*ir *omo verd*deiro o con*ecim*nto "claro e distinto", isto é, aquele do qual não se
pode duv*da*. Assi*, antes *e *udo, temo* qu*
duvidar para cheg*rmos à v**dade; b) o
segundo é * d* "análi*e", que nos ensi*a dividir u* a
prob*ema em ta*tas partes quanta*
for*m *os*íveis, até qu* s*as dific*ldades se tornem faci*idades; c) o terceiro é o da "*ín*ese",
*ue *raça um cam*nho contr*rio a*
da "análise", partindo d* pro*lema mais simples m*is *
fácil, par* o m*is composto e mais
difícil, *or ord*m. No fim, deve-se examinar
cuidadosa*ente as conclu*õ*s d* composto para im*ed*r descuid*s q*e levem ao erro; *; d) o
úl**m* * o da "enumeração", ou método do "*esmembramento".
*sse método fundamenta-se em des*em*rar e enu*erar exaustiva ordenadamente e
*m probl*ma c*mposto, **pos*ibilita*d* a supre*sã* de q*alquer
par*e dele. A*r*vé* del*,
garante-se
que na*a será esquecid* ou perdido no
processo de s*l*ção *o probl*ma.
(D*SCAR*ES, 1950-1*56, p.16).
Ob*e*va-se que a proposta de Descartes * si*p*es: d*ve-se fazer uma e *ó uma coisa
de *ad* v*z, p*ra a*can**r a *olução ve*dad*ira de qualquer pro*lema; e é o próprio Descar**s
que just*fica suas regr*s:
Es*** longas c*de*as de razões, tão sim*les e fá*eis das qua*s os *eôm*tr*s têm
co*tume *e se servir para ch*gar as suas mais difí*eis dem*nstra*ões, levaram-me a imagi*ar
Rev. FSA, Teresina PI, v. 15, n. 6, a*t. 10, p. 181-1*4, nov./dez. 2018 www4.*sanet.com.br/r*vis*a
R. A. *apu*aru
186
que **das as coisas q*e podem cair sob o conhec*mento dos h**ens *ncadeia*-se do mesmo
*od* e que, co* a única *ondição de nos abste*mos de aceitar p*r verd*d**ra *lgu*a que **o
o seja e de obser*arm** sempre a ordem necessária para deduz*-las umas das outras, *ão pode
exis*ir nenhuma *ão afastada q*e *ão possam*s enf** chega* a *la e ne* tão escondida que
não a d*s*u****os (DE*CARTES, 2017, p.17). (gri*o meu)
No *nt*nto, em um determina*o mom*n*o de A Geometria Descarte* ob*erva-se c*m
a**omb*o e angústia que, mesmo ut*liza*d* seu poderoso método, a*gumas
*urva*
encontrava*-s* so**nte n* âmb*to da imaginação, pore le renegade pere*ptor*amnete.
Algun* anos d*pois,
com o filó**fo *inda vivo, cons*atou-se
que tudo *ão passava de um
engano, isto *, era p**sível trabalhar matemática * m*tod*camen*e com essas curvas.
3 METO*OLOGIA
Co*forme informado an**riormente, *oi feita uma ampla pesquisa bibliogr*fica, devido
à natureza do a*sunto, mas, infelizmente, *iscorrer sobre essa me*odolo*ia é um pouco d*f*c**,
*ist* que *sse tipo *e pesquisa é a raiz de todas as outras. Grosso modo, q*al*uer que seja o
assunto p*sq*isado, será feita uma pesquis* *ibliog****c*.
Assim
*e*do, o*jetivando se**rar a pesq*isa bib*iográf*ca *tilizada em qu*lquer tipo
de
pesquisa d*quela *qu* utilizada, esta s*rá denom*n*da "pes*uisa bibliográ*ica pura", pois
fundamenta-se só soment* só em *onte* bibli*grá*icas. Os dado* foram ob*id*s a partir e
conhecim*ntos escritos em livros, r*vis**s e na World W*de W*b (www), *or*v*n*e ch*m*da
de interne*. Ressalta-se q** não há *esq**sa que, em alg*m momento, *ão recorrerá a s*mente
e*sas fo*tes, conforme Lakatos e Marc*n* (*005).
Neste *rtigo *ntitula*o "A Im*g*nação de Descartes em A Geome*ri*" **contram-se
também al*uns traços das
pesqu*s*s descri*iva doc*menta*. A **im*ira é rea*izada c*m e
o
intuito d* desc***er as ca*acterísticas do fe*ômeno
qu*, no caso, é o uso ou * mau us* d*
*maginação por De*carte*. É *reciso esclare*er que a *xploraçã* do fenômeno, neste *aso,
tem como objetivos dese*volver ou esclarecer
conce*tos e ideias. Ess* tipo de *esquis* foi
*qui
utilizada, *e for*a *ais mode*ta, pois havia
poucas i*f*rmaçõe* disp*ní*eis sobre
o
tema. A *scassez
de informa*ões to*nou difí*il * formulação de hipótes*s sobre o *orqu*
D*scartes *ejeit*va c*m tanta veemência o uso *a *ma*inação na *atem*tica.
A *egunda, trilha os mesmos c*mi*hos da "pesqu*s* bibl*ográfi*a p*ra"
a*ui
apresentada, poi* a pesquisa docume*tal recorre a f*ntes mais divers*ficadas e disp*r*as, sem
tratamen*o analítico. *pes*r de a pesqu*sa do**mental ter um amplo
espec*ro, este tra*alho
R**. FSA, T*resina, v. 15, n. 6, a*t. 10, p. 181-194, no*./dez. 2018
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A Imaginação de *escartes em "A Geometria"
187
restringiu-se a do**men**s retrospectivos, cons*de**dos c*entificamente autênticos, os quais
se encontram sob a responsabili*ad* d* Bib*iothèque Nati*n*le de Fran*e (Bn*), a Gallica.
Mesmo que nem toda infor*ação disponibilizada em meio* eletr*n*c*s deva ser
c*ns*derada de caráter h*stórico-fil**ófico-ci*n*ífico, em se *rata**o dos arquivos da Gal*i*a,
estes têm sua importânc*a ma*s do que comprovada no que t*nge a *ste tip* de cont*ibuição.
Retornando à "pesquisa bibliográfica pura", para
dissecá-la um *ouco mais, por
"bibli*gráfic*" en*ende-s* u** mo*ali*ade específica de documentos, a sa*er: ob*as escrita*,
imp*es*a* em editoras, classificadas e* bib*i*te*as, ma* *am*ém bases de da*os na **ternet,
*m sites c*nf*áveis, *u seja, assinados e inst*t**ionais. Nesta mod*lid*de
específ*ca, os
"blogs" foram descart*do*, po*que se tratam de
opiniõ*s pessoai*. Além disso, * "pesquisa
bibliográfica pura" f*i fei*a a par*ir d* levantament* *e referê*cia* teóricas anal*sadas
previame*te
em outros t*abalho* já publi**dos e, a par*ir daí, foi feita uma s*ntes* do
*e*same*to *os autores consul*ados.
A p**para*ão
cuid**osa
da "pesquisa *ib*iog*áf*ca pu*a" aq*i ap*esentada *oi
c*ndição essenc*al p*ra a construçã* e f*nalização do pr*sente art*go. Na busca da*
i*formações, for*m levados em conta a*guns a*pectos, entre os *uais destacam-se:
1) a d**inição *o con**xto da busc*;
2) a se*eçã* dos re*ursos disp*nív*is n* internet: índices, ca*á*ogo*, met* *esqu*sa*, ent*e
outros.
Pa*tic*larme**e, a pes*uisa de arti*os de p*riód*c** se deu por meio de ***ices
*speciali**dos que man*êm, para uma determi*ada ár*a d* c*nhecim*n**, no caso a f*losofia
d* Descartes * a questão da imaginação, um le*antam*nto de art**os de u* gr*nde número de
perió*icos *ue po*em ser "baixad*s" p*ra o computador ou *mpressos diretam**te. O Portal
de Perió*icos da C*orden*ção de Ape*feiçoamento de *essoal de Nível **perior (CAPES)
d*spon*b**iza *c*s** ime*iat* * *rodução científ*ca
nacional
e internaci**al, e aqui
foi
amp*amente utili*ado, bem co*o
os por*ais disponi*ilizados pela Bibliotec* da UFVJM. O
uso **sses Portais é livre e g*atuito para os usuários d*s in**ituiçõ*s participantes.
3.1 A *maginação em A Geometri* de Descartes
Os *iló*ofos em *eral têm um rela*i**amento
de am*r e ódio com a imaginaç*o.
Descartes não fugiu à
regra. Por um lado, desprezo*-a, *ratando-a como u*
obstáculo, po*
*u*ro,
*eu-lh* *m
pouco
de crédito, mas
*ão *uito. De
qualquer modo, para *le,
a
i*aginação pa*ecia at*a*alhar mais do que auxiliar. Não *ra *om a imaginaç*o q*e *escartes
*ev. FSA, Teresi** PI, v. 15, *. *, a*t. 10, p. 181-194, n*v./dez. 2018 www4.fsanet.com.*r/*evi*ta
R. A. S**unaru
188
pretendia chegar à ve*dad*, às res*osta* para a* *u*stões mais profundas sobre a natureza *a
*xistênci* human*, t*mpouco s*b*e as verda*es matemáti*as. Tentan*o imagina* o caminho
para a verda*e Me****sica,
ele *screveu, em
16*1, Le* Mé*itations Métaphysiq*es.
(DOR**ER, 2014).
Logo na primeira das s*is meditações, Descarte a**rma ser *ma toli** e*p*rar obter
uma *magem ma*s clar* d* mu*d* através **s sonhos, ou seja,
*ua*do se ado*mece.
(DESCARTES, 2005; DORTIER, *014). *a segu*d*, De*cartes descreve * i*aginação c*mo
uma das man**ras de c*nceber a ***ia de uma cois*. T**a ve* *ue a*guém se concentr*
em
*ualquer coi*a que deseja sa*er, ou seja, quando pensa em a**o, estar*a "*onc*be*do" essa
coisa na mente. Logo, im*ginar algo é simplesmente conce*ê-*a por meio *o tipo de id*ias
que se atri*uí aos senti**s:
qualidades es*aciais e tempora*s, q*alid*des físicas de todos os
tipos, a*a*ência. A concepção e a imaginação não sã* meios *ntagônicos do *o**ecimento,
mas d*fe*em em s** g*neralida*e. A imagi*ação é apen*s o nome ** um t*p* de concepção.
*lgu*as *oisas podem ser ima**nadas e também pod*m ser pensadas, is*o é, concebida* sem
ser *ma*inadas: um tr*ângu*o, por exemplo, que *im*lesmente pode ser pensado em *ermos d*
sua definição como uma
figura que contém três *ng*lo*, ou pode ser imaginada como
um a
coisa física. (*ESCARTES, 2*05).
Cont**o, não são Les Méditations M*ta*hysiques que s*r*irão *e b*se para a
d*scussã* sobre a imagi*a*ão que aqu* *e pre*endesse fa*er. Descart*s *ambém *eve
*roblemas com a im*ginação an*eriormente, *os s*us ensaios científicos e matemáticos, co*o
em *e Monde, de 1633, e em 1637, no Discurso do Método: *our bien c*n*uire sa r*i*on, et
che*cher la vérit* dans les sc**nces.
No a*ê*dice *o Discurso do *étodo, cujo tí*ulo é A Ge*metria, Livro II, Descartes
d*scute um método ut*liz*do *m
outro apêndice des*e
mesmo *iv*o, L* Di*ptrique,
para
explicar as côn*c*s, q*e são os c*rculos, as parábolas, as *ipé*bol*s * as elipses. Em *eg*ida,
mesm* obtend* *ucesso c*m *ssas curvas, *escartes afirmou que **o poderia tr*tar nenhum
out*o tipo *e cu*va que, às vezes, se comporta*s* como l*nha
*eta às vezes, co*o li*ha e,
curva. Por *xempl*, * cic*o***, as fu*çõe* t*igon*métricas, as funçõ*s loga*ítmicas, as
funções exponenciais, a
espiral d* Arqu*me*es, o logaritmo e*piral, e*tre out*as, c*nf*rme
Figuras 2, 3, 4, 5 e 6.
R*v. FSA, T*resina, v. 15, n. 6, art. 10, p. 181-194, nov./dez. 2018
*ww4.fsanet.com.br/revista
A Imag*naçã* *e Descartes em "A Geometria"
189
F*gura 1 - Ciclóide
Figura 2 - Funções trigonométricas
F*gura 3 - Funções *ogarí*mic*s
Fig**a 4 -
*unç**s expone*ciais
Fig*ra 5 - Espiral de Arquimedes
Rev. FSA, Teresina PI, v. 15, n. 6, art. 10, *. 181-194, nov./de*. *018
w*w4.fsanet.com.b*/revista
R. A. Sapunaru
190
Na letra d* Desca**es:
[] pois, ain*a que *ão pos**mos t*atar que se assemel*e a essas cord*s, ou seja
que se tornem às vezes ***as e às vezes **nhas curvas, devido à propo*ç*o
desc*nhecida *ue *á entre as linhas retas e
*s linhas curvas, acredito que elas *ão
possam *er co**ecidas pelos ho*ens. (DESCARTES, 2017, p.51).
Figura 8 - G*áfico do li*ro A Geometria de De*cartes represe*ta**o curvas que
po*em ser desenhadas / cal*ulada* sem o *so da i*aginação.
Fonte: Adaptaç*o *e Bruna Fernandes Bar*osa para o GEOGEBRA.
Cabe, agora, *nt*nder os limi*es de De*cartes para tratar d*te**inadas cu*va* através
do *ntend*mento da Figura 8, que trata
*a* Cô*icas d* Ap*lônio. A Figu*a 8 é o retrato da
tr**sfo*m*ção das côn*cas *a álgebra ru*imentar nascente do s*cul* XVII, com o aux*lio
da*u*lo que iria ser chamad* mod*rnamente de plano cartesiano. *esca*te *nicia su* análise
est*belecendo que *s l*nha* procurada* sã* A*, IH, ED, *F e GA. Em seguida ele toma um
po*to *, de m*do qu* d*senhan*o as linhas C*, CF, CD, CH e C* em ângul*s *etos sobre **
linhas dadas a*teriormente, forma-*e o
paralel*píp**o com as linhas CF, CD, CH, igu*l
àquele **rmado pel*s *ua* linhas *e*as C* e CM e uma tercei*a AI. Destaca-se a importância
desse pon*o pa*a todo o raciocínio do f***sof*, sem o *ual ele andaria *m *ír*ulos.
(DESCARTES, 2017).
Então, Descartes fez CB=y, C*=x, *I ou AE ou GE=a, de modo que o pon*o C
estivess* posi*ion*do entre as
linhas AB e DE, C*=2a-y, CD=*-y e CH=*+a. Depois,
*ultip*icou conju*tam**te os *rês e ob*e*e C*·C*·CH=y^3-2*y^2-a^2 *+2a^3, q*e é igual ao
Rev. FSA, Tere**na, v. 15, *. 6, *rt. 10, p. 181-194, *ov./dez. 20*8 www4.fsane*.com.br/revi*ta
A Imaginação de Descart*s em "A Ge*met*ia"
191
pr*duto a*y. N* sequênci*, Descartes cons*dera a linha curva, CEG *ue el* afirma *maginar
ser des*rita pela intersecção da *arábol* *KN, cu*o di*metro KL sempre s* *ncontra ao longo
da linha reta A* e da ré*u* GL. No entanto, essa régua **ra sobre o pon*o G de tal maneira
que ela sempre recai no pla*o da parábo** e passa pelo po*to *. *escartes contin*a fazendo,
KL=a e * p*in*ip** la*us re*tum, *sto *, o segme*to de **ta que pas*a *or *m dos focos da
c*ni*a cu*o compriment* é mínimo, aquele que se rel*ciona com o e*xo da p*rábola dada,
*
t*mbém
ig*al a a
e
GA=2a e CB=MA=y * C*=AB=x. Logo, devido
aos t*i*ngulos
*emelhant*s GMC e CBL, *M/MC=2*-*/x, as*im *omo *B/**=y/xy/2a-y; e visto que
*L=a, BK=a-xy/2a-y=2a2-ay-*y/2a-y. Finalme*te, Desc*rtes concl** que, assim como esse
mesmo B*, send* um se*mento *o diâ*etro da parábola es*á *ara BC, este es** para a, que é
* la*us rectum. O cá*cul* m*str* *ue y3-2*y2-a2y+2a3=axy. Portanto, C é o ponto *olicitado
e
p*de ser *o*a*o sobre qualque* par** da *inha curva CEG que se queira, ou no *eu
complemento c*Gc, descrito da m**ma for*a que o anter*or, *xceto que o vér*ice d* parábo*a
estará virado n* di*eção oposta ou, *nfim, ** sua* contrap*sições NI*e nIO, **e sã* descritas
pela *ntersecção qu* * linha GL fa* no outro lado da parábola com K*. (DESCA*TE*,
2017).
*escartes c*nti*ua sua análi*e reafirman*o seu método de enc*ntrar um *onto p*lo
**al seja possível *ra**r lin*as retas e curv**. No entanto, o f*lósofo chama a atençã* de seu*
leitore* para uma que*tão cruci*l: a difere*ça entre ess* méto*o d* enco*trar mu*tos
**nt o*
p*ra *raçar uma *inh* curva outro p*ra e
as
curvas transcendentes. Para essas *urva*,
nem
todos os pontos podem ser
e*con***dos facilmen*e. Portanto, para Descartes, não se pode
encontrar um desses po*tos, como o po*to C. C*nseq*e*te*ente, a solução *e determin*dos
pr**lemas *stari* comp*ometida, conforme suas pró*rias *alavras. **sim, Descartes
acredi*ava q*e a Matemát*ca *ue envolvia essas lin*as
não poderi* ser *onhe*ida pelos
homens, p*i* iria além sua capacid*de de *onheciment*, ou estariam l**itadas ao âmbito da
imagin**ão. (D*SCARTES, 20*7).
Pa*a melhor *ompreende* A Geometria, é p*e*iso sem*re *er em mente que *sta *br*
f*i e*crita para *emonstra* os *éto*os do r*ci*c*nio correto discutidos no Discurso d*
Mé**do. A*s*m, como dito anter*ormente, n*o
f oi po*
acaso que A Geometria surgiu pela
primeira v*z como um apêndice d* Discurso do Métod*. Além disso, *e*car*e*, no Discurso
do M**odo, *al*u re*etidamente s*bre * "claro e **stinto", **s *m A Geometria essa clareza e
distinção deixou um pouc* * desejar, po*que o *ilósof*
exagerou nos d*talhes
de *lg*mas
**plicaçõ*s e omiti* *s de outras, tornando a obra "es*ura e baralhada". Es*a falta de "clareza
e d*sti*ç*o" pode es*ar associada a um desconforto ** t*abalh*r com ** curvas qu* Leib*iz,
Rev. FSA, Teres*** PI, *. 15, n. 6, ar*. 10, *. 181-19*, nov./dez. 2018 ww*4.fsa**t.com.br/r*vista
R. A. Sapun*ru
1**
ent*e *utr*s matemáticos, chamaria anos depo*s de "*ra*sc*ndente*", *á **s*radas
anteriorm*nte. Essas curvas *e***d*a* do conh*ciment* da quadratura do cí*culo para ser*m
c*nstruídas e equacionadas algeb*icamente. Infelizme*te, Descartes po* n*o t*r explorado s*a
imaginação mate*ática, temen*o cont*ariar alg** princípio rac*o*al,
nã* lev*u suas
cons**u*ões a diante, *eixando es*apa* a *es*oberta do* *álculo* Diferen*ia* e Integral.
(BO*TROUX, 19*0, 19*5; GO*DIM; SAPU*ARU, 2015).
Nos trabalhos ci*ntíficos d* Descartes, ob*er*ava-se u*a preocupação *m elim*nar a
i*ag*na*ão:
"Des*artes ti**a como me*a principal *iminuir o papel da
imagi*aç*o."
(BOUTRO*X, 1900, *.21). Par* que *sso acont*ces*e, era preci*o co*stit*i* uma *i**ci* de
gr*n**zas *erais que **du*iria a esta todas as o*t*as ciênc**s: trat*va-se d*
*riar uma
Matemática *niversal. E*sa nova ciê*cia traria para *i a g**ndeza
abstrata, mas não aquela
adqui*id* *ela intelectua*izaçã* ou const*ução de uma i*agem, suscetível de torna*-*e *m
receptá*ulo de determ*nações partic*lares. *s ideias de quantida*es desp*o*ida* de toda
imagem que permi*iss*m rep*esentar * imag*naç*o ser*am os objetos des*a nova ciência. *o
fim *as contas, Des*a*tes *ão criou essa *at*mática Univers*l porq** j**gou não ser possíve*
operacionalizá-l* e, qua*do af*rmou que não poderia ex*lica* determinadas curvas, e*tende-se
que ele t*m*ém não cons*gui*ia imp*imi*-lhes, mes*o que imag*nariamente, o movi*ento
necessário de form* a enc*ixá-las em sua gra*de máquina universa*. (BOUTROUX, 19*0,
*955; GON*IM; SA*UNARU, 20*6).
4 CON*LUSÃO
Um aspe*to do pe*samento *e Descartes menos *iscu*ido do *ue seu ceticismo * seu
dualismo é * *eu reconheciment* de que há característi*as hu*ana* que não são referentes
apenas
ao corpo ou à mente, mas que envolvem a*bos, com* a
imagin*ç*o. Descartes
estabelece* um* Filoso*ia, na qu*l o mun*o *onsist* *m dois tipos d* substânc*a* distint*s: a
res cogitan* e a res extensa,
pensame**o m*té*ia, respectiva**nte. O mundo fís*co e
é
ma*éri*; Deus e a*jos são mente. Os seres
hum*nos *ão um* c*mpos*ç*o d*s dois, mente
e
ma*éria. Assim como a matéria **m s*as propri*dades, *omo *amanho, forma, p*so, a me*te
tem a* sua*, ou se*a, pensar, duv*da*, entender, *fi*mar, nega* e arrazo*r. (DORT*ER, 2*14).
O problem* enc*ntra-*e *as sensações e emoções que envo*vem tanto o corpo quan*o
a m*nte em uma uniã* corpo-mente indissociáve*. De*se modo, enquanto a sen*ação requer
órgãos *ensoriais, que são *a*eriais, a emoç*o i*clui inúmera* al*erações corp*r*is. *ra,
a
*m**in*ção pod*ria t*mbém estar inclusa nessa dual*da*e corpo-me*te, *ois seria consider***
R**. FSA, T*r*sina, v. 1*, n. 6, *rt. 10, p. *81-19*, nov./dez. 2018 w**4.f*an**.co*.br/revista
A I*agin*çã* de Des*artes em "A Geometria"
*93
como a c*mbinação de um* imagem mental e um* sensaçã*. Con*udo, * imagem não é de
algo que se revela diant* de nossos olhos, mas algo que evoc*mos e* n*ssos olhos.
(D*RTIER, 2*14).
Por*anto, *moção, sens**ão e imaginação não se *ncaixariam na *strutur* filosófica
dualis*a de Descartes, visto que exig*m um corp*. S*n*o assim, de a*ord* com D*scartes, a
in*elecção p*r* deve ser superior * imaginação, g*ranti*do sempre que De*s tenh* um*
c*mp*een**o **perior à nossa. I*so nos permite o *ntendi*ento de
c*i**s que imaginamos,
como fig*ras geométricas de muit*s lado*
ou *esmo linhas que se comportam ora como
retas, ora
como curva*. E*se fato pa*ece *ue p*rturb* D*sc*rtes em *m nível quase
que
insupo*táv*l. (DOR**ER, 2014; DES*ARTE*, 201*).
Em v*rias ocasiões, *o longo de A Geometr*a, *escartes, afirmou que só se p*de
entender *quilo qu* s* *ode im*gina*, implicando, portan*o, que * *maginaç** *eria um modo
*omu* de pensar. El* completa seu pensa*ento dizendo que imagina* seria um mau caminh*
p*ra o pensamento verdadei*o, racional, uma i*atur*dad* mental,
*ípica do senso c*mum
e
não dos filósofos, poi* *m*l*c*va no uso dos *enti***
enga*adores. C*nclui-s* então
*ue
De*cart*s *ra, p*r um *ado, um oponente feroz da imaginaçã* * tentou, a todo custo, empur**-
la para a margem de sua Filosofia, mas por outro, sentia-se obr*g*do a *ecorrer a ela quando
se depara*a com polinô*ios d* graus *lt** e com o i*stinto d* tra*sfo*mar a geome*ri* em
álgebra. Dev**o a essa dualida*e, ele deixou escorrer entre os de*os os Cálc*los Diferencial e
Inte*ral, q*e ***s tarde foram consa*rados po* Newton e *eibniz. (BO*TR*UX, 1900,
1*55; GO*DIM; SAPUNARU, 20*6; DORTIER, 2014).
REFERÊNC*AS
ABB*GNANO, N. *ic*on*rio de *ilos*fia. Sã* Paulo: Martins Fo*tes, 2003.
BO*T*OUX, P. L'idéal
scient**ique des mathématiciens dans l'antiq**té e* dans les
te*ps **dernes. Dispo*ível em < **tps://gallica.bnf.fr/ark:/1214*/b**6k29111g/*1.image>.
Úl*imo acesso: *5 *e jul. de 2017.
____________. L'imagination et les mathé*atiques: selon Descartes. *aris: *. Alcan, 19**.
*ESCA*TES, R. A Geometria. Tradução do *rigin*l La Géométrie. Disponível
em <
https://g*llica.bnf.fr/ark:/12148/*tv1b860**594/f528.image>. p.297-4*1. Introduç*o
e
*omentários de Bruna Barbosa Fernande*, C**diana da *ilva, Fi*i** Bru*inga Brant * Raqu*l
Anna Sapunaru. 2a. edição. São *aulo: Edi*or* *a L*vrari* da Física, 2015.
____________. Discours de la *éthode pou* *ie* conduir* sa raison et ch*rcher *a v*rité
dans *e* sciences, *l*s *a dioptriq*e, les météores et la géo**tri* qui sont des essais de
Re*. FS*, Teresina P*, *. 1*, n. 6, a**. 1*, p. 181-*94, n*v./dez. 2*1* www4.fsanet.com.br/revi*ta
R. A. Sapun*ru
1*4
*ette meth*d. Dis*onível em <ht*p://gallica.*nf.fr/ark:/121*8/b*v1b86069594?rk=150215;2>.
Últ*mo acess*: *5 de ago. de 2017.
____________. *e*itações Metafísicas. T*aduzido ** Traduzido do or*ginal Méditations
métaphysiques *ouchant l'*pérat**n de Dieu *ans l'or*re de *a **ture, où l'on expli*ue d'u*e
ma*ièr* claire et mé*h*d*que les plus import*ntes v**i*és de la métaphysique. Comment Dieu
opère dans les es*rits et dan* les *orps, et quelles *o*t le* *oi*s *u'il em*loie pour éxécuter
les des*eins éternels de sa divine prov*dence *ur tous le* e**e*s q*'o* a *outume d'attribuer à la
n**ure
*t
au
mi*acle
pa r
*ené
Descar*es.
Disp*nível
*m:
<https://gallic*.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k164*03n?rk=42*18;4>. In*rodução e notas
Ho*ero
Santiago. *raduç*o *aria H*rma***na Galvão. Trad*ção dos text*s introdut*rios
Homero
Santiag*. 2a. ediçã*. São Paul*: Martins Fontes, 20*5.
____________. Regras para a direcção *o es*írito. Traduz*do do *riginal R*gl*s p*ur *a
Direction
de
l'Esprit.
Disp*nível
e*:
<https://gall*ca.bnf.fr/*rk:/12148/bpt*k942726/f34*.image>. p. 199-330. Lisboa: E*ições 70,
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Como Ref*renciar e*te Ar**go, co*forme A**T:
SA*UNARU, R. A Imaginação de Des**rtes em "A Geometr*a". Re*. FSA, *ere*ina, v.15, n.6, art.
10, p. 181-194, nov./dez. 2018.
*ontribuiç** dos Autores
*. A. Sapu**ru
*) co***pção e plan*jam*nto.
X
2) análise e int*r*retação dos dados.
X
3) **abo*ação ** rascu*ho ou na *e*isão crítica do conteúdo.
X
4) **rti*ipação na aprovação da versão fina* *o m*nu*crito.
*
Rev. F*A, *er**ina, v. 15, n. 6, *rt. *0, p. 1*1-194, n*v./d*z. 2018
www*.f*anet.c*m.br/r*vista
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